Edizioni ETS: Analitica

I paradosso di Russell segna il fallimento della versione fregeana del progetto fondazionale logicista di riduzione della matematica — e, in modo decisivo, dell'aritmetica — alla logica. Il progetto logicista rimane tuttavia alla base degli attuali programmi astrazionisti, animati dal medesimo intento fondazionale e caratterizzati dall'adozione dello strumento, tipicamente fregeano, dei principi d'astrazione. Si rivela dunque cruciale, per lo sviluppo di tali programmi, una profonda comprensione e un pieno superamento del paradosso di Russell. Nel libro, il dibattito astrazionista viene ricostruito a partire dalle risposte fornite all'interrogativo sull'origine di questo paradosso. Si approfondisce, in particolare, una spiegazione finora poco indagata, che mette in luce il ruolo dirimente della logica classica del primo ordine e suggerisce, quale nuova direzione risolutiva, l'adozione della logica libera.

Nelle lezioni contenute in questo volume si descrive e si analizza la formazione della logica del primo ordine nel periodo 1900-1930. Si seguono due temi, che emergono dai problemi della assiomatizzazione delle teorie matematiche, e in particolare della teoria degli insiemi, all'inizio del secolo. Il primo è la chiarificazione e la distinzione dei concetti di completezza deduttiva di una teoria e di completezza logica. Il secondo è quello del programma di Hilbert, che si articola e si definisce nel corso degli anni Venti. La storia avventurosa del teorema di completezza logica con i suoi equivoci e incomprensioni, e la passione delle polemiche aspre di Hilbert con l'intuizionismo di L. Brouwer fanno della costituzione della logica come disciplina un episodio esemplare del processo di crescita della matematica. Nella seconda parte del volume si dà una dimostrazione dettagliata del primo teorema di incompletezza di Gödel, che almeno una volta nella vita, diceva Alonzo Church, occorre aver visto. Nel momento in cui Gödel dimostra fattibile il programma di Hilbert con l'aritmetizzazione, nel 1930, sancisce anche l'impossibilità degli obiettivi che si proponeva.

I saggi che costituiscono i capitoli di questo volume sono dedicati alla ricostruzione di alcuni momenti centrali nella storia dei fondamenti della matematica.